Klasifikasi Bilangan (Part I)

KLASIFIKASI BILANGAN

Dengan berkembangnya ilmu pengetahuan, konsep bilangan yang dulu dikenal dengan sangat sederhana kini telah mengalami perluasan. Bila kita menyusun kembali sejarah bilangan, maka bilangan asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal. Namun dengan mengenal bilangan asli saja belum cukup, oleh karena itu diperluaslah konsep bilangan tersebut sehingga terdapat beberapa jenis bilangan. 

1. Himpunan bilangan asli

Himpunan bilangan asli mempunyai unsur-unsur, yaitu A = {1, 2, 3 4, 5, 6, ...}. Kita dapat mendefinisikannya sebagai himpunan bilangan bulat positif tidak termasuk nol. Dapat pula dikatakan bahwa bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari satu. Di dalam bilangan asli ada yang disebut bilangan genap yaitu, bilangan yang habis di bagi dua seperti 2, 4, 6, 8, dll. Sedangkan bilangan ganjil yaitu, bilangan ganjil bilangan yang jika dibagi dua hasilnya sisa satu seperti 1, 3, 5, 7, 9, dll.

Operasi bilangan asli yaitu penjumlahan dan perkalian.

a. Penjumlahan

• Tertutup

Jika ada a dan b A, maka a + b = c, c A

• Komutatif (pertukaran)

a + b = b + a

• Asosiatif (pengelompokkan)

a + b + c = (a + b) + c = a + (b+c)= (a +c) +b

b. Perkalian

• Tertutup

jika ada a, b A, maka a b= c, c A

• Komutatif

a b = b a

• Asosiatif

a b c = (a b) c

= a (b c )

= (a c) b

• Distributif (penyebaran)

a (b + c) = (a b) +(a c)

• Unsur satuan

a b = b a=a

b= 1

2. Himpunan bilangan cacah

Himpunan bilangan cacah mempunyai unsur-unsur, yaitu C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}. Kita dapat mendefinisikannya sebagai himpunan bilangan bulat yang dimulai dari nol.

Operasi dalam bilangan cacah yaitu penjumlahan dan perkalian.

a. Penjumlahan

• Tertutup

Jika ada a dan b C, maka a + b = c, c C

• Komutatif (pertukaran)

a + b = b + a

• Asosiatif (pengelompokkan)

a + b + c = (a + b) + c = a + (b+c)= (a +c) +b

• Ada unsur satuan/ identitas

• a + b = b + a=a

b = 0

b. Perkalian

• tertutup

jika ada a, b C, maka a b= c, c C

• komutatif

a b = b a

• asosiatif

a b c = (a b) c

= a (b c )

= (a c) b

• distributif (penyebaran)

a (b + c) = (a b) +(a c)

• unsur satuan

a b = b a=a

b= 1

3. Himpunan Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :

• Bulat positif : (1, 2, 3, 4, 5, …)

• Nol : 0

• Bulat Negatif : ( …,-5,-4,-3,-2,-1)

Himpunan bilangan bulat dinyatakan dengan B = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

bilangan bulat negatif, bilangan bulat positif, bilangan nol

Di dalam setiap bilangan bulat mempunyai masing-masing satu lawan bilangan bulat. Kedua bilangan bulat dikatakan berlawanan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan hasilnya adalah 0 (nol). (contoh: 10+ (-10) = 0).

10 lawan dari -10 atau -10 lawan dari 10

5 lawan dari -5 atau -5 lawan dari 5

1 lawan dari -1 atau -1 lawan dari 1

Operasi pada bilangan bulat:

a. Operasi Penjumlahan

• Tertutup, hasil penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat. Jika a + b = c, maka a, b dan c adalah bilangan bulat.

Contoh : 5 + (-2) = 3

5, -2, dan 3 adalah bilangan bulat.

• Komutatif a + b = b + a

Contoh : 4 + 5 = 5 + 4 = 9

4 + (-3) = -3 + 4 = 1

• Asosiatif a + (b + c) = (a + b) + c

Contoh : 3 + (-2 + 5) = 3 + 3 = 6

(3 + (-2 )) + 5 = 1 + 5 = 6

Jadi, 3 + (-2 + 5) = (3 + (-2 )) + 5

• Mempunyai elemen identitas (yaitu 0) a + 0 = a dan 0 + a = a

Contoh : 3 + 0 = 3

-2 + 0 = -2

• Mempunyai elemen invers (lawan) a + (-a) = 0, -a disebut lawan dari a.

Contoh : 2 + (-2) = 0

-3 + 3 = 0

b. Operasi Pengurangan

• Tertutup, hasil pengurangan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat. Jika a - b = c, maka a, b dan c adalah bilangan bulat.

Contoh : 5 – (-1) = 5 + 1 = 6. 5, -1 dan 6 adalah bilangan bulat.

• Tidak komutatif a-b b-a

Contoh: 8 – 6 =2

6 – 8 =-2

Jadi, 8 - 6 6 - 8

• Tidak Asosiatif (a - b) – c a- (b – c)

Contoh: (8 - 3) – 2 = 5 - 2 =3

8 – (3 - 2) = 8 – 1 = 7

Jadi, : (8 - 3) – 2 8 – (3 - 2)

• Tidak mempunyai elemen identitas

c. Operasi Perkalian

• Tertutup, hasil perkalian dua bilangan bulat adalah bilangan bulat. Jika a, b bilangan bulat, maka a × b = c, c bilangan bulat.

• Komutatif a × b = b × a

Contoh : 2 × 3 = 3 × 2 = 6

• Asosiatif a × (b × c) = (a × b) × c

Contoh : 3 × (2×(-5)) = (3 × 2)×(-5)

3 × (-10) = 6 × (-5)

-30 = -30

• Distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan.

a × (b+c) = (a × b) + (b × a)

a × (b–c) = (a × b) − (b × a)

• Mempunyai elemen identitas (yaitu 1) , a × 1 = 1 × a = a

Contoh : 3 × 1 = 3

d. Operasi Pembagian

• Tidak tertutup, hasil pembagian dua bilangan bulat tidak selalu menghasilkan bilangan bulat.

Contoh : 10 : 2 = 5. 10, 2, dan 5 adalah bilangan bulat

10 : 3 = . 3 bilangan bulat, bukan bilangan bulat.

• Tidak komutatif : a : b ≠ b : a

Contoh: 6 : 3 = 2

3: 6 =

Jadi, 6 : 3 3: 6

• Tidak asosiatif : (a : b) : c ≠ a : (b : c)

Contoh: (12 : 6) : 2 = 2 : 2= 1

12 : (6 : 2 )= 12 : 3= 4

Jadi, : (12 : 6) : 2 ≠ 12 : (6 : 2 )

• Untuk setiap a bilangan bulat, maka tak terdefinisi (pembagian dengan bilangan nol tak terdefinisi).

4. Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah bilangan cacah dan b tidak sama 0. a = pembilang dan b = penyebut.

Macam-macam pecahan:

• Pecahan biasa

Pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya.

a/b; a < b contoh : 2/5 , 4/8 , 3/6
• Pecahan campuran Pecahan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. a/b; a >b contoh : 8/3= 2 2/3 ; 9/4 = 2 1/4; 7/3= 2 1/3

• Pecahan desimal

Pecahan desimal adalah bentuk lain dari pecahan dengan menggunakan tanda koma sebagai pemisah..

contoh : 0,5 ; 1,5 ; 3,25